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数学のとびら　線形空間
Linear Spaces

金沢大学准教授　博士（数理学）　川上　裕著

Ａ５判／予304頁／定価　　円（本体　　円＋税10％）／2026年4月刊行予定
ISBN 978-4-7853-1211-4　 C3041

　数学を志す学部2年生以上を対象に、１年生で学ぶ線形代数学の続論として、より抽象的・理論的な視点から、ジョルダン標準形の理論をはじめとした線形空間論の標準的内容を解説した入門書。
　本書ではまず、線形空間の定義と「部分空間」「直和」などの基本概念を説明し、線形写像の基本的性質、とくに線形写像とその行列表現との関係について詳しく述べる。そのうえで、表現行列を簡単にする「標準化」の理論として、線形変換の対角化、そしてジョルダン標準形を、具体的な計算例とともに丁寧に解説する。最終章では計量線形空間を扱い、正規直交基底の構成や正規変換の対角化などを紹介する。
　理論の構造や意味を明確に理解してもらえるよう、本書全体を通して丁寧かつ段階的な記述を行い、理解を確認するための「発展問題」を精選して各章末に収録、すべてに詳しい解答を与えた。線形代数学を改めて体系的に学びたい人や大学院の数学専攻を目指す人にはとくにおすすめの好著である。

◆「数学のとびら」シリーズの特長◆

● 数学科の学部生を対象としたラインナップ。数学的に厳密でありながら、丁寧な解説。
● 各章のはじめに「この章の目標」として何を学ぶかを明示しており、見通しを立てて学習できる。
● 具体例・演習問題を手厚く収め、頭でわかるだけでなく実際の問題に取り組むための力がつく。原則として、すべての問題の解答を収録。
● 本文のはじめに「キーワード表」（“とびらの鍵”）を掲載。どの章で何をするのかの流れを確かめたり、理解した概念にチェックを入れたりできる。

サポート情報

目次（章タイトル）　　→ 詳細目次

1．線形空間
2．線形写像
3．線形変換の対角化
4．ジョルダン標準形
5．計量線形空間

詳細目次

はじめに

1．線形空間
　1.1　【復習】集合について
　　1.1.1　集合
　　1.1.2　集合の演算
　　1.1.3　集合族の和集合と共通部分
　1.2　線形空間
　　1.2.1　線形空間の定義
　　1.2.2　線形空間の例
　1.3　部分空間
　　1.3.1　線形空間の部分空間の定義
　　1.3.2　部分空間の例
　1.4　基底
　　1.4.1　ベクトル空間の線形結合・線形独立・線形従属
　　1.4.2　基底の定義と例
　　1.4.3　基底の存在
　1.5　次元
　　1.5.1　線形空間の次元
　　1.5.2　部分空間の次元
　1.6　部分空間の和と直和
　　1.6.1　部分空間の共通部分と和集合
　　1.6.2　部分空間の和と次元公式
　　1.6.3　部分空間の直和
　1.7　【演習】問題の解き方

2．線形写像
　2.1　【復習】写像について
　　2.1.1　写像
　　2.1.2　全射・単射・全単射
　2.2　線形写像
　　2.2.1　線形写像の定義と例
　　2.2.2　線形写像の基本的性質
　　2.2.3　線形写像の核と像
　　2.2.4　線形写像の次元公式
　　2.2.5　線形同型
　2.3　線形写像の行列表示
　　2.3.1　線形写像の基底に関する表現行列
　　2.3.2　基底の変換行列
　2.4　【補足】商線形空間
　　2.4.1　商集合
　　2.4.2　商線形空間
　　2.4.3　商線形空間の次元
　　2.4.4　準同型定理
　2.5　【演習】問題の解き方

3．線形変換の対角化
　3.1　【導入】線形変換の標準化とは？
　3.2　線形変換の固有値
　　3.2.1　線形変換について
　　3.2.2　線形変換の固有値と固有空間
　　3.2.3　固有方程式
　3.3　不変部分空間
　3.4　線形変換の対角化可能性
　　3.4.1　線形変換の対角化可能性
　　3.4.2　行列の対角化可能性
　3.5　【演習】問題の解き方

4．ジョルダン標準形
　4.1　【補足】多項式について
　　4.1.1　多項式の演算
　　4.1.2　イデアル
　4.2　最小多項式
　　4.2.1　線形変換の最小多項式
　　4.2.2　ケーリー・ハミルトンの定理
　　4.2.3　対角化と最小多項式の関係
　4.3　広義固有空間
　　4.3.1　広義固有空間
　　4.3.2　分解定理
　4.4　べき零変換のジョルダン標準形
　　4.4.1　べき零変換
　　4.4.2　ジョルダンブロック
　　4.4.3　べき零変換のジョルダン標準形
　　4.4.4　べき零行列のジョルダン標準形の求め方
　4.5　線形変換のジョルダン標準形
　　4.5.1　線形変換のジョルダン標準形の存在と証明
　　4.5.2　正方行列のジョルダン標準形の求め方
　　4.5.3　応用
　4.6　【演習】問題の解き方

5．計量線形空間
　5.1　内積と計量線形空間
　　5.1.1　内積
　　5.1.2　ノルム
　5.2　正規直交基底
　　5.2.1　正規直交系
　　5.2.2　正規直交系の構成
　5.3　直交補空間
　5.4　正規線形変換の対角化
　　5.4.1　随伴変換
　　5.4.2　正規線形変換
　　5.4.3　正規行列のユニタリ行列による対角化
　　5.4.4　実対称行列の直交行列による対角化と応用
　5.5　【演習】問題の解き方

練習問題の解答
参考文献
記号索引／事項索引

著作者紹介

川上裕
かわかみゆう
1979年三重県に生まれる。名古屋大学大学院多元数理科学研究科博士課程修了。名古屋大学特任助教、九州大学GCOE学術研究員、同助教、山口大学講師を経て現職。専門は微分幾何学、複素解析学、幾何解析学。主な著書に『極小曲面論入門―その幾何学的性質を探る』（共著、サイエンス社）がある。

（情報は初版刊行時のものです）

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